​微积分之三角函数、反三角函数的导数

微积分之三角函数、反三角函数的导数

1.7 三角函数、反三角函数的导数

首先高中物理课本有这样一句话：（弧度）很小的时候，。

（高中里定义三角函数用的是几何方法：如果直角三角形斜边长为 1，一个角为 x，那么对边为 sin x。和差化积之类的公式也是用几何方法证明的，所以现在看起来不够严谨。刚才用级数定义了指数函数，以后还可以用exp ix=cos x+i sin x来定义三角函数。）

我们先来看sin x的导数：（下面用到了高中三角函数“和差化积”公式）

所以

【练习】证明，（用导数的除法公式）。

三角函数有很方便的性质：，。

（表示对x求两次导）

设y=sin x，则x=arcsin y，然后来看arcsin y的导数：

所以，。

【练习】证明，（需要用到一些三角变形，有需要可以留言）。